ECON217HWARMA - 7. Finden Sie den gleitenden Durchschnitt. ECON217HWARMA 1. Wenn eine Zeitreihe Kovarianz stationär ist, was wissen wir über E (X t) und COV (X t. X tk) für t 1. T und k 0, 1, 2. 2. Ist ein weißes Rauschen Prozeß, was wissen wir über E (X t) und COV (X t. X tk) für t 1. T und k 0, 1, 2. 3. Definieren und vergleichen Sie die Autokorrelationsfunktion und die partielle Autokorrelationsfunktion von Eine stationäre Zeitreihe. 4. Angenommen, Y t folgt Y t phi Y t-1 epsilon t epsilon t WN (0. sigma 2). ein. Geben Sie die Annahme (en) auf phi an, die stationär wird. B. Die Annahme ist stationär. Finden Sie die Autokorrelationsfunktion und die partielle Autokorrelationsfunktion. 5. Angenommen, Y t folgt Y t epsilon t theta epsilon t-1 epsilon t WN (0, sigma 2). ein. Geben Sie die Annahme (en) an, die stationär wird. B. Finden Sie die Autokorrelationsfunktion von. C. Schreiben Sie die partielle Autokorrelationsfunktion auf. 6. Betrachten Sie einen Zeitreihenrekord. Diskutieren Sie, wie Sie ein Zeitreihenmodell mit dem dreistufigen Ansatz von Box-Jenkins und dem Kriterium des Informationskriteriums konkretisieren würden. Dies ist das Ende der Vorschau. Melden Sie sich für den Rest des Dokuments. Unformatierte Textvorschau: 7. Finden Sie die gleitende Durchschnittsdarstellung, die Impulsantwort und die Prognose für jeden der folgenden Prozesse: a) (1- L) Y t t. B) (1-L) Ytt. C) Yt (1 L) t. Und d) Yt (1 L) t. 8. Betrachten Sie den autoregressiven Prozess zweiter Ordnung y t a a 2 y t-2 t, wobei a 2 amplt 1. a. Finden: i. E t-2 y t ii. E t-1 y t iii. E ty t 2 iv. Cov (y t. Y t-1) v. Cov (y t. Y t-2) vi. Die partiellen Autokorrelationen 11 und 22b. Finden Sie die Impulsantwortfunktion. Gegeben sei y t-2. Trace die Auswirkungen auf einen t Schock auf die Sequenz. C. Bestimmen Sie die Prognosefunktion: E t y t s. Der Prognosefehler) (set ist die Differenz zwischen yts und E tyt s. Ableitung des Korrelogramms der Sequenz Hint: Find E t) (se t. Var) (se t. Und) () (jsese E ttt für j 0 To s. 9. Enders, Kapitel 2, Frage 11. Vollständiges Dokument anzeigen Klicken Sie hier, um die Details zum Dokument zu bearbeitenImpulsantwort und Faltung Digitale Signalverarbeitung ist (meist) angewandte lineare Algebra. Die Relevanz der Matrixmultiplikation erwies sich als leicht zu erfassen für die Farbe (Anzahl der Prüflampen), 3 (Anzahl der Primärlichter, Anzahl der Photopigmente) und 31 (Anzahl der Abtastpunkte in einer spektralen Leistungsverteilung für ein Licht oder in der spektralen Absorption für eine Pigment), und es stellte sich heraus, dass einige wichtige Fakten über die Farbsicht als Projektion der höherdimensionalen Spektralvektoren in einen niedrigdimensionalen psychologischen Teilraum modelliert werden können. Es ist auch leicht zu sehen, wie sich diese Idee ausbildet, wenn eine Beziehung zwischen Unabhängigen modelliert wurde Variablen (wie experimentelle Bedingungen) und abhängige Variablen (wie Subjekt Antworten), oder wenn versuchten zu klassifizieren Sätze von multivariaten Messungen (wie Formant-Werte). Aber was bedeutet es, Audio - oder Videosignale als Matrixmultiplikation zu interpretieren? Und warum sollten wir einen einfachen Fall betrachten wollen. Der CD-Standard tastet eine Audiosignalform 44.100 Mal pro Sekunde ab, so dass ein 2:48 enthaltenes Stück 7.408.800 Samples enthält (ignoriert das Stereo-Problem). Angenommen, wir wollen die relative Lautstärke von tiefen, mittleren und hohen Frequenzen einstellen, um Raumakustik, unser Lautsprechersystem oder unseren persönlichen Geschmack auszugleichen. Die 7,408,800 Abtastwerte sind Elemente eines Vektors. Jede Ausgleichsfunktion (wie später später gezeigt) ist linear und jede lineare Transformation ist äquivalent zu einer Matrixmultiplikation, so daß wir ihre Wirkung auf einen Kanal unseres Musikstückes als Multiplikation mit einer 7,408,800 durch modellieren können 7.408.800 Matrix. Alles, was wir tun müssen, ist, unseren 7,408,800-Element-Spaltenvektor durch diese Matrix zu multiplizieren, wodurch ein weiterer Spaltenvektor mit der gleichen Anzahl von Elementen erzeugt wird - und dies ist unser entzerrtes Bit von Audio. Wenn wir mit einer halbstündigen Aufzeichnung arbeiten wollten, würde der Umfang der Operation proportional steigen. Das scheint nicht wie eine sehr praktische Technik. Es ist begrifflich richtig, und manchmal kann es sinnvoll sein, auf diese Weise zu denken. Dies ist jedoch (unnötig zu erwähnen) nicht, wie eine DSP-Implementierung eines Equalizers durchgeführt wird. Es gibt viel einfachere Wege, die mathematisch äquivalent für Systeme mit bestimmten Eigenschaften sind, deren Matrizen entsprechende Eigenschaften haben, die eine einfache und effiziente Implementierung der äquivalenten Berechnung erlauben. Dieses Thema kann auf einen Slogan reduziert werden: Der Effekt eines linearen, schichtinvarianten Systems auf ein beliebiges Eingangssignal wird durch Falten des Eingangssignals mit der Reaktion des Systems auf einen Einheitsimpuls erhalten. Um eine Vorstellung davon zu erhalten, was dies gut sein könnte, sollten Sie einige Dinge in der realen Welt betrachten, die (oder zumindest erfolgreich als modelliert werden können) lineare schichtinvariante Systeme: Sobald Sie die Terminologie in diesem Slogan verstehen, wird es fast sein Sofort offensichtlich, dass seine wahre so in gewissem Sinne dieser Vorlesung ist vor allem eine Frage des Lernens einige Definitionen Wir wissen bereits, was ein lineares System ist. Ein schichtinvariantes System ist eines, bei dem das Verschieben des Eingangs den Ausgang immer um denselben Betrag verschiebt. Wenn die Signale durch Vektoren repräsentiert wurden, bedeutet eine Verschiebung eine konstante ganze Zahl, die allen Indizes hinzugefügt wurde. Somit erzeugt der Verschiebungsvektor v durch n Abtastwerte einen Vektor w mit w (in) v (i). Hinweis: es gibt ein kleines Problem hier ist entschieden, was passiert an den Kanten. Somit sollte für eine positive Verschiebung n das erste Element von w dem Minus-n-ten Element von v entsprechen, aber v ist nicht für Indizes definiert, die kleiner als 1 sind (oder Null, wenn wir beschließen, dort zu starten). Theres ein ähnliches Problem am anderen Ende. Konventionelle DSP-Mathematik löst dieses Problem durch die Behandlung von Signalen als mit unendlichem Umfang - definiert für alle Indizes von minus unendlich bis unendlich. Real-World-Signale in der Regel starten und stoppen jedoch. Dies ist eine Frage, die gut auf mehrere Male zurückkehrt, einschließlich einmal am Ende dieser Vorlesung, wenn sie in der EE / DSP-Perspektive und in der linearen Algebra-Perspektive ein etwas formaleres Konto bereitstellen. Für Signale, die Funktionen der Zeit sind, d. H. Wo die Folge von Indizes einer Folge von Zeitpunkten entspricht, kann ein schichtinvariantes System äquivalent als ein zeitinvariantes System bezeichnet werden. Hier hat die Eigenschaft der Verschiebungsinvarianz eine besonders intuitive Bedeutung. Angenommen, wir analysieren einen akustischen Resonator mit einem bestimmten Eingang um 12:00 Uhr am 25. Januar 1999 und erhalten eine Antwort (was auch immer es ist), die wir aufnehmen. Anschließend analysieren wir am 26. Januar 1999 um 12:00 Uhr das gleiche System mit demselben Eingang. Wir erwarten, dasselbe Output aufzuzeichnen - nur um 24 Stunden nach vorne versetzt Die gleiche Erwartung gilt für eine Zeitdifferenz von Eine Stunde oder eine Minute. Schließlich, wenn wir die Eingabe um 1 Millisekunde hypothetisch verzögern, erwarten wir, dass der Ausgang um den gleichen Betrag verzögert wird - und ansonsten unverändert Der Resonator weiß nicht, wie spät es ist und antwortet auf die gleiche Weise, unabhängig davon, wann er ist Untersucht. Ein Einheitsimpuls (für gegenwärtige Zwecke) ist nur ein Vektor, dessen erstes Element 1 ist und dessen sämtliche andere Elemente 0 sind. (Für die digitalen Ingenieursignale unendlich ist der Einheitsimpuls 1 für den Index 0 und 0 für alle Andere Indizes, von minus unendlich bis unendlich). Nun arbeiten, bis zu welcher Faltung ist, indem sie ein einfaches Beispiel. Hier ist ein Graph von 50 Samples (etwa 6 Millisekunden) einer Sprachwellenform. Wurden diese Wellenform als eine Folge von Zahlen dargestellt - ein Vektor - und aus dieser Perspektive eine bessere grafische Darstellung der gleichen Daten ist ein Lutscher-Diagramm, das uns zeigt, jede Probe als ein wenig Lutscher oben oder unten aus einer Null-Linie : Lass uns nur die ersten sechs dieser Zahlen heranzoomen: Matlab wird uns ihre spezifischen Werte erzählen: Wir können diesen Sechs-Element-Vektor s als die Summe von sechs anderen Vektoren s1 bis s6 denken. Von denen jeder nur einen seiner Werte trägt, wobei alle anderen Werte Null sind: Es sei daran erinnert, daß ein Impuls (im gegenwärtigen Kontext ohnehin) ein Vektor ist, dessen erstes Element den Wert 1 hat und dessen nachfolgende Elemente null sind. Der Vektor sve, der s1 genannt wird, ist ein Impuls multipliziert mit 10622. Der Vektor s2 ist ein Impuls, der nach rechts um ein Element verschoben und mit 5624 skaliert ist. Somit zerlegen wir s in einen Satz skalierter und verschobener Impulse. Es ist klar, dass wir dies zu einem beliebigen Vektor tun können. Die gleiche Zerlegung grafisch dargestellt: Warum ist dies interessant Nun, betrachten Sie einige willkürliche Schicht-invariante lineare System D. Angenommen, wir wenden D (ohne etwas davon zu wissen) auf einen Impuls an, wobei das Ergebnis unten gezeigt wird: Der erste Abtastwert des Ausgangssignals ist 1, der zweite Abtastwert -1 und der Rest der Abtastwerte 0. Dieses Ergebnis Ist die Impulsantwort von D. Dies reicht aus, um das Ergebnis der Anwendung von D auf unsere skalierten und verschobenen Impulse, s 1. s n, vorherzusagen. Da D schichtinvariant ist. Die Wirkung der Verschiebung der Eingabe ist nur um den Ausgang um den gleichen Betrag verschieben. Somit erzeugt eine Eingabe, die aus einem Einheitsimpuls besteht, der um jeden beliebigen Betrag verschoben ist, eine Kopie der Impulsantwort. Um denselben Betrag verschoben. Wir wissen auch, daß D linear ist. Und daher erzeugt ein skalierter Impuls als Eingabe eine skalierte Kopie der Impulsantwort als Ausgabe. Unter Verwendung dieser beiden Tatsachen können wir die Reaktion von D auf jeden der skalierten und verschobenen Impulse s 1 s n vorhersagen. Dies wird grafisch unten dargestellt: Wenn wir die Antworten auf s1 anordnen. S6 als die Zeilen der Matrix, die tatsächlichen Zahlen werden wie folgt aussehen: (Die Anordnung dieser Ausgänge als die Zeilen einer Matrix ist rein für typografische Bequemlichkeit auch bemerken, dass weve ermöglichen die Antwort auf Eingang s6 fallen aus dem Ende der Welt Sozusagen) Diese Information wiederum genügt, um die Reaktion des Systems D auf den ursprünglichen Vektor s vorauszusagen. (Durch Konstruktion) nur die Summe von s1 s2 s3 s4 s5 s6 ist. Da D linear ist, ist die Anwendung auf diese Summe dieselbe wie die Anwendung auf die einzelnen Komponenten der Summe und die Addition der Ergebnisse. Dies ist nur die Summe der Spalten der oben gezeigten Matrix: (Matlab sum, angewandt auf eine Matrix, erzeugt einen Zeilenvektor der Summen der Spalten.) Beachten Sie, dass (zumindest für die zweite Position in der Summe und weiter) Dies macht den Ausgang in der Position i gleich der Differenz zwischen dem Eingang in Position i und dem Eingang in Position i-1. Mit anderen Worten, D geschieht, die erste Differenz seiner Eingabe zu berechnen. Es sollte klar sein, dass dieselbe grundlegende Prozedur für jedes beliebige schichtinvariante lineare System und für eine beliebige Eingabe in ein solches System funktionieren wird: die Eingabe als Summe von skalierten und verschobenen Impulsen auszudrücken, berechnet die Reaktion auf jede von diesen durch Skalierung und Verschiebung Die Systemimpulsantwort addiert den resultierenden Satz von skalierten und verschobenen Impulsantworten. Dieser Vorgang der Addition eines Satzes von skalierten und verschobenen Kopien eines Vektors (hier der Impulsantwort), unter Verwendung der Werte eines anderen Vektors (hier der Eingang) als Skalierungswerte, ist Faltung - zumindest ist dies eine Art zu definieren es. Eine andere Möglichkeit: Die Faltung von zwei Vektoren a und b ist als Vektor c definiert. Deren k-te Element ist (in MATLAB-isch-Terme) (Die 1 in k1-j ist darauf zurückzuführen, dass MATLAB-Indizes den schlechten Geschmack von 1 anstelle der mathematisch eleganteren 0 beginnen). Diese Formulierung trägt dazu bei, daß wir auch an die Faltung denken können als einen Prozeß, bei dem ein laufendes gewichtetes Mittel einer Sequenz genommen wird, dh jedes Element des Ausgangsvektors ist eine lineare Kombination von einigen der Elemente eines der Eingangsvektoren, - wobei die Gewichte von dem anderen Eingangsvektor genommen werden. Es gibt ein paar kleine Probleme: wie lange sollte c sein und was sollten wir tun, wenn k 1- j negativ oder größer als die Länge von b ist. Diese Probleme sind eine Version der Kanteneffekte weve bereits angedeutet, und wird wieder sehen. Eine mögliche Lösung besteht darin, sich vorzustellen, daß wir zwei unendliche Folgen zusammenfassen, die durch Einbettung von a und b in einen Ozean von Nullen entstehen. Nun willkürliche Indexwerte --- negative, diejenigen, die zu groß schienen - machen vollkommenen Sinn. Der Wert für erweiterte a und erweiterte b für Indexwerte außerhalb ihres tatsächlichen Bereichs ist nun perfekt definiert: immer Null. Das Ergebnis von Gleichung 1 wird eine weitere unendlich lange Folge c sein. Ein kleiner Gedanke wird Sie davon überzeugen, dass der Großteil von c auch notwendigerweise Null sein wird, da die Gewichte von b und die Nicht-Null-Elemente von a nicht in diesen Fällen übereinstimmen. Wie viele Elemente von c haben eine Chance, ungleich null zu sein. Nun, nur jene ganzen Zahlen k, für die es mindestens eine ganze Zahl j gibt, so dass 1 lt j lt Länge (a) und 1 lt k1-j lt Länge (b). Mit ein wenig mehr Gedanken, können Sie sehen, dass dies bedeutet, dass die Länge von c wird ein kleiner als die Summe der Längen von a und b. Unter erneuter Bezugnahme auf die Gleichung 1 und die Vorstellung, daß die beiden Vektoren a und b in ihren Meeren der Nullen eingebettet sind, sehen wir, daß wir die richtige Antwort erhalten, wenn wir zulassen, daß k von 1 bis Länge (a) 1, und für jeden Wert von k. Erlauben Sie j, von max (1, k 1-Länge (b)) zu min (k, Länge (a)) zu laufen. Auch hier ist alles in MATLAB-Indexbegriffen, und so können wir es direkt an ein MATLAB-Programm myconv () weiterleiten, um die Faltung durchzuführen: Dies gibt uns nur das Stück des begrifflich unendlichen c, das eine Chance hat, von Null verschieden zu sein . MATLAB hat eine eingebaute Faltungsfunktion conv (), so dass wir die, die wir gerade geschrieben haben, vergleichen können: Abgesehen davon sollten wir erwähnen, dass die Konvolution auch die richtigen Ergebnisse liefern wird, wenn man an a, b und c denkt Koeffizienten von Polynomen, wobei c die Koeffizienten des Polynoms sind, die sich aus der Multiplikation von a und b ergeben. Somit ist die Faltung isomorph zur polynomischen Multiplikation, so daß z. B. (2x 3) (4x 5) 8x2 22x 15 und kann auch so interpretiert werden, dass (3x 4) (5x2 6x 7) 15x3 38x2 45x 28 Wenn Sie dies glauben, folgt unmittelbar aus der Kommutativität Von der Multiplikation, die Faltung auch pendelt (und assoziativ ist, und verteilt über Addition). Wir können diese Eigenschaften empirisch exemplifizieren: Das sind wichtige Punkte, wenn Sie also nicht sofort sehen, dass sie immer wahr sind, verbringen Sie etwas Zeit mit Gleichung 1 - oder mit dem Faltungsoperator in Matlab - und überzeugen Sie sich. Weve gegeben zwei Bilder von conv (a, b): in einem, addieren wir eine Reihe von skalierten und verschobenen Kopien von a, jede Kopie skaliert um einen Wert von b und verschoben, um mit der Position dieses Wertes in b auszurichten . In der anderen verwenden wir einen laufenden gewichteten Durchschnitt von a, wobei b (rückwärts) als die Gewichte. Wir können die Beziehung zwischen diesen beiden Bildern sehen, indem wir Gleichung 1 in Matrixform ausdrücken. Wir haben von b als Impulsantwort des Systems, a als Eingang und c als Ausgang gedacht. Dies bedeutet, dass die Matrix für S die Länge (c) nach der Länge (a) haben wird, wenn c S a eine legale Matrix ist. Jedes Element des Ausgangs c ist das innere Produkt einer Reihe von S mit dem Eingang a. Dies ist genau Gleichung 1, wenn die betreffende Reihe von S nur b ist. Zeitversetzt, verschoben und geeigneterweise mit Nullen aufgefüllt. Wenn b aus dem Bild verschiebt, verschieben wir nur Nullen aus dem Meer von Nullen, die wir uns vorstellen, darin zu schweben. Eine kleine Modifikation unseres Faltungsprogramms erzeugt die benötigte Matrix: Somit bildet cmat (a, b) einen Matrixoperator C, die mit dem Vektor a multipliziert werden können, um genau denselben Effekt wie die Faltung von a mit b zu erzeugen: Dies funktioniert, weil die Zeilen von C in geeigneter Weise verschoben (rückwärts laufende) Kopien von b oder äquivalent sind, weil die Spalten von C Sind geeignet verschobene (vorwärtslaufende) Kopien von b. Dies gibt uns die beiden Bilder von Faltungsoperatoren: DAS LAUFENDE GEWICHTTE DURCHSCHNITT DES EINGANGS: Die Zeilen von C werden rückwärts Kopien von b verschoben. Und das innere Produkt jeder Reihe mit einem Willen gibt uns einen gewichteten Durchschnitt eines geeigneten Stückes von a. Die wir an der entsprechenden Stelle im Ausgang c halten. Die Summe der skalierten und verschobenen KOPIEN DER IMPULS-ANTWORT: Die Spalten von C sind verschobene Kopien von b. Die andere Ansicht der Matrixmultiplikation, nämlich daß die Ausgabe die Summe der Spalten von C ist, die durch die Elemente von a gewichtet werden. Gibt uns das andere Bild der Faltung, nämlich das Addieren eines Satzes von skalierten und verschobenen Kopien der Impulsantwort b. Ein größeres Beispiel: Beim Durcharbeiten der Faltungsdetails mußten wir den Randeffekt bewältigen: Die Tatsache, daß die Faltungsgleichung (Gleichung 1) Indexwerte für endliche Längeneingaben a und b außerhalb des Bereichs, in dem sie definiert sind, impliziert . Offensichtlich könnten wir eine ganze Reihe von Möglichkeiten wählen, um die fehlenden Werte zu liefern - die besondere Wahl, die wir machen sollten, hängt davon ab, was wir tun. Es gibt einige Fälle, in denen das Meer von Nullen Konzept ist genau richtig. Allerdings gibt es alternative Situationen, in denen andere Ideen mehr Sinn machen. Zum Beispiel könnten wir an b denken, wie in einem Meer von unendlich vielen wiederholten Kopien von sich sitzen. Da dies bedeutet, dass die Indexwerte ab dem Ende von b auf das andere Ende in modulärer Weise umlaufen, genau wie wenn b auf einem Kreis war, wird die resultierende Faltungsform als Kreisfaltung bezeichnet. Denken Sie daran: Wir werden in einem späteren Vortrag darauf zurückkommen. Unterdessen wiederholen wir den Slogan, den wir begannen: Der Effekt eines linearen, schiebeinvarianten Systems auf ein beliebiges Eingangssignal wird durch Falten des Eingangssignals mit der Reaktion des Systems auf einen Einheitsimpuls erhalten. (Beachten Sie, dass dies die gleiche Eigenschaft von linearen Systemen ist, die wir im Fall der Farbabstimmung beobachteten - wo wir alles, was wir über das System wissen sollten, indem wir es mit einem begrenzten Satz monochromatischer Eingaben untersuchten, lernen konnten Linear und nicht schichtinvariant, wäre die Analogie hier, daß sie mit Einheitsimpulsen bei jedem möglichen Indexwert abgetastet wird - jede solche Sonde gibt uns eine Spalte der Systemmatrix, was bei einem 31-Element-Vektor praktisch war, aber es Mit Vektoren von Millionen oder Milliarden von Elementen weniger attraktiv wäre. Wenn das System aber auch schichtinvariant ist, reicht eine Sonde mit nur einem Impuls aus, da die Reaktionen aller verschobenen Fälle davon vorhergesagt werden können.) Faltung kann immer erfolgen Als Matrixmultiplikation betrachtet werden - das muss wahr sein, denn ein durch Faltung realisierbares System ist ein lineares System (sowie schichtinvariant). Shift-Invarianz bedeutet, dass die Systemmatrix jedoch besondere Redundanzen aufweist. Wenn die Impulsantwort von endlicher Dauer ist, ist dieser Slogan nicht nur mathematisch wahr, sondern ist auch oft eine praktische Möglichkeit, das System zu implementieren, da wir die Faltung in einer festen Anzahl von Multiplikations-Adds pro Eingangsprobe implementieren können Viele, da es Werte ungleich Null in der Systemimpulsantwort gibt). Systeme dieses Typs werden im allgemeinen als endliche Impulsantwortfilter (FIR-Filter) oder äquivalent gleitende Durchschnittsfilter bezeichnet. Wenn die Impulsantwort von unendlicher Dauer ist (da sie sich gut in einem linearen schichtinvarianten System befinden kann), bleibt dieser Slogan mathematisch wahr, ist aber von weniger praktischem Wert (es sei denn, die Impulsantwort kann ohne signifikante Wirkung abgeschnitten werden). Nun lernen Sie später, wie IIR-Filter effizient implementieren. Die EE / DSP-Perspektive. Das Ziel dieses Abschnitts ist es, das Grundmaterial über Impulsantwort und Faltung im Stil zu entwickeln, der in der digitalen Signalverarbeitungs-Literatur in der Disziplin der Elektrotechnik üblich ist, um Ihnen zu helfen, sich mit der Art der Notation vertraut zu machen, die Sie sind Wahrscheinlich dort zu begegnen. Auch, vielleicht gehen über die gleichen Ideen wieder in einer anderen Notation wird Ihnen helfen, thm zu assimilieren - aber vorsichtig sein, um die DSP / EE Notation getrennt in Ihrem Kopf von linearen Algebra-Notation, oder Sie werden sehr verwirrt In dieser Perspektive, Wir behandeln ein digitales Signal s als eine unendlich lange Sequenz von Zahlen. Wir können die mathematische Fiktion der Unendlichkeit an die alltägliche endliche Realität anpassen, indem wir annehmen, daß alle Signalwerte außerhalb irgendeiner endlichen Längenuntersequenz Null sind. Die Positionen in einer dieser unendlich langen Zahlenfolgen werden durch ganze Zahlen indiziert, so daß s (n) die n-te Zahl in der Folge s bedeutet, die gewöhnlich s kurz als n bezeichnet wird. Manchmal verwenden wir alternativ s (n), um sich auf die gesamte Folge s zu beziehen. Indem man an n als freie Variable denkt. Wir lassen einen Index wie n Bereich über negative sowie positive ganze Zahlen, und auch Null. Also, wo die geschweiften Klammern sind eine Notation Sinne gesetzt, so dass der ganze Ausdruck bedeutet die Menge der Zahlen s (n), wobei n nimmt alle Werte von minus unendlich bis unendlich. Wir verweisen auf die einzelnen Zahlen in einer Sequenz s als Elemente oder Proben. Die Wortprobe ergibt sich aus der Tatsache, dass wir in der Regel diese Sequenzen als diskret abgetastete Versionen von kontinuierlichen Funktionen, wie das Ergebnis der Abtastung einer akustischen Wellenform einige endliche Anzahl von Mal pro Sekunde, aber in der Tat nichts, was in diesem Abschnitt vorgestellt wird Hängt davon ab, dass eine Folge nichts anderes als ein geordneter Satz von Zahlen ist. Die Einheit Impuls oder Einheit Probensequenz. Geschrieben, ist eine Sequenz, die eine am Abtastpunkt Null ist, und Null überall sonst: Die griechische Hauptstadt Sigma,, ausgesprochen Summe. Wird als Notation zum Aufsummieren eines Satzes von Zahlen verwendet, typischerweise durch eine gewisse Variable, die einen bestimmten Satz von Werten annimmt. So ist Kurzschrift für ist Kurzschrift für Die Notation ist besonders hilfreich im Umgang mit Summen über Sequenzen. Im Sinne der in diesem Abschnitt verwendeten Sequenz, wie im folgenden einfachen Beispiel. Die Einheit Schrittfolge. (N) ist eine Sequenz, die an allen Abtastpunkten kleiner als Null und an allen Abtastpunkten größer als oder gleich Null ist. Die Einheitsschrittfolge kann auch als kumulative Summe des Einheitsimpulses erhalten werden: Bis zu n -1 beträgt die Summe 0, da alle Werte von für negatives n 0 bei n 0 sind, die kumulative Summe springt auf 1, da und die kumulative Summe bei allen Werten von n größer als 1 bleibt. Da alle übrigen Werte von 0 wieder 0 sind. Dies ist kein besonders eindrucksvoller Gebrauch der Notation, aber es sollte Ihnen helfen zu verstehen, dass es vollkommen sinnvoll sein kann, über unendliche Summen zu sprechen. Beachten Sie, dass wir auch die Beziehung zwischen u (n) und in die andere Richtung ausdrücken können: Im Allgemeinen ist es sinnvoll, über die Anwendung der gewöhnlichen Operationen der Arithmetik auf Sequenzen zu sprechen. Somit können wir das Produkt der Folgen x und y als xy schreiben. Dh die Folge der Produkte der entsprechenden Elemente (nicht das innere Produkt): Ebenso kann die Summe der Folgen x und y xy geschrieben werden. Bedeutung Eine Folge x kann mit einem Skalar multipliziert werden mit der Bedeutung, dass jedes Element von x einzeln so multipliziert wird: Schließlich kann eine Sequenz um eine ganze Zahl von Abtastpunkten verschoben werden: Wir haben diese Schreibweise bereits verwendet, als wir den Einheitsimpuls ausdrückten Sequenz in Form der Einheitsschrittsequenz als die Differenz zwischen einer gegebenen Probe und der unmittelbar vorhergehenden Probe. Jede Sequenz kann als Summe aus skalierten und verschobenen Einheitsproben ausgedrückt werden. Konzeptionell ist dies trivial: Wir machen für jede Probe der ursprünglichen Sequenz eine neue Sequenz, deren einziges Nicht-Null-Mitglied das ausgewählte Sample ist, und wir addieren alle diese Single-Sample-Sequenzen, um die ursprüngliche Sequenz zu bilden. Jede dieser Single-Sample-Sequenzen (wirklich jede Sequenz enthält unendlich viele Samples, aber nur eine davon ist ungleich Null) kann wiederum als Einheitsimpuls (eine Probe des Wertes 1, die sich am Punkt befindet) durch die entsprechenden skaliert dargestellt werden Wert und verschoben an die entsprechende Stelle. In der mathematischen Sprache ist k eine Variable, die jede der Originalproben entnimmt, ihren Wert verwendet, um den Einheitsimpuls zu skalieren, und verschiebt dann das Ergebnis an die Position des ausgewählten Musters. Ein System oder eine Transformation T bildet eine Eingangsfolge x (n) auf eine Ausgangssequenz y (n) ab: Lokale lineare Impulsreaktionen für eine kleine Open Economy Personen, die dieses Dokument heruntergeladen haben, haben auch Folgendes heruntergeladen: 1. Ein Vergleich direkter und Iterierter Multistep-AR-Methoden Für die Prognose der makroökonomischen Zeitreihe von Massimiliano Marcellino. James Stock 2. 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